非中心卡方分布¶
的分布情况 \(\sum_{{i=1}}^{{\nu}}\left(Z_{{i}}+\delta_{{i}}\right)^{{2}}\) 哪里 \(Z_{{i}}\) 是独立的标准正态变量 \(\delta_{{i}}\) 是常量。 \(\lambda=\sum_{{i=1}}^{{\nu}}\delta_{{i}}^{{2}}>0.\) (在通信中，它被称为Marcum-Q函数)。它可以被认为是广义瑞利-赖斯分布。
这两个形状参数是 \(\nu\) ，一个正整数，以及 \(\lambda\) ，一个正实数。支持是 \(x\geq0\) 。
\begin{eqnarray*} f\left(x;\nu,\lambda\right) & = & e^{-\left(\lambda+x\right)/2}\frac{1}{2}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{\left(\nu-2\right)/4}I_{\left(\nu-2\right)/2}\left(\sqrt{\lambda x}\right)\\
F\left(x;\nu,\lambda\right) & = & \sum_{j=0}^{\infty}\left\{ \frac{\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}e^{-\lambda/2}\right\} \mathrm{Pr}\left[\chi_{\nu+2j}^{2}\leq x\right]\\
G\left(q;\nu,\lambda\right) & = & F^{-1}\left(q;\nu,\lambda\right)\\
\mu & = & \nu+\lambda\\
\mu_{2} & = & 2\left(\nu+2\lambda\right)\\
\gamma_{1} & = & \frac{\sqrt{8}\left(\nu+3\lambda\right)}{\left(\nu+2\lambda\right)^{3/2}}\\
\gamma_{2} & = & \frac{12\left(\nu+4\lambda\right)}{\left(\nu+2\lambda\right)^{2}}\end{eqnarray*}
哪里 \(I_{{\nu }}(y)\) 是第一类修正的贝塞尔函数。
参考文献¶
“非中心卡方分布”，维基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution
实施： scipy.stats.ncx2