\BEGIN{eqnarray*}
F\Left(x；\nu\Right)&=&\frac{2\nu^{\nu}}{\Gamma\left(\nu\right)}x^{2\nu-1}\exp\left(-\nu x^{2}\Right)\\
F\Left(x；\nu\Right)&=&\frac{\Gamma\Left(\nu，\nu x^{2}\Right)}{\Gamma\Left(\nu\Right)}\\
g\Left(q；\nu\Right)&=&\sqrt{\frac{1}{\nu}\Gamma^{-1}\Left(\nu，Q{\Gamma\Left(\nu\Right)}\Right)}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\mu & = & \frac{\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\nu}\Gamma\left(\nu\right)}\\
\mu_{2} & = & \left[1-\mu^{2}\right]\\
\gamma_{1} & = & \frac{\mu\left(1-4v\mu_{2}\right)}{2\nu\mu_{2}^{3/2}}\\
\gamma_{2} & = & \frac{-6\mu^{4}\nu+\left(8\nu-2\right)\mu^{2}-2\nu+1}{\nu\mu_{2}^{2}}
\end{eqnarray*}
中上分布在SciPy中的最大似然估计 (nakagami.fit )
的概率密度函数 nakagami 在SciPy中的分布是
\BEGIN{公式}
F(x；\nu，\u，\sigma)=2\frac{\nu^\nu}{\sigma\Gamma(\nu)}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2\nu-1}\EXP\Left(-\nu\Left(\frac{x-\u}{\sigma}\Right)^2\Right)，\标记{1}
\end{公式}
为 \(x\) 这样一来， \(\frac{{x-\mu}}{{\sigma}} \geq 0\) ，在哪里 \(\nu \geq \frac{{1}}{{2}}\) 是Shape参数， \(\mu\) 是位置，并且 \(\sigma\) 就是规模。
因此，对数似然函数
\BEGIN{公式}
L(\nu，\u，\sigma)=\sum_{i=1}^{N}\log\Left(2\frac{\nu^\nu}{\sigma\Gamma(\nu)}\left(\frac{x_i-\mu}{\sigma}\right)^{2\nu-1}\EXP\Left(-\nu\Left(\frac{x_i-\µ}{\sigma}\Right)^2\Right)，\Tag{2}
\end{公式}
它可以扩展为
\BEGIN{公式}
L(\nu，\µ，\sigma)=N\log(2)+N\nu\log(\nu)-N\log\Left(\Gamma(\nu)\right)-2N\nu\log(\sigma)+\Left(2\nu-1\right)\sum_{i=1}^N\log(x_i-\u)-\nu\sigma^{-2}\sum_{i=1}^N\Left
\end{公式}
去掉支持约束，似然导数的最优性的一阶条件给出了参数的估计：
\BEGIN{ALIGN}
\frac{\Partial l}{\Partial\nu}(\nu，\u，\sigma)&=N\Left(1+\log(\nu)-\psi^{(0)}(\nu)\right)+2\sum_{i=1}^N\log\Left(\frac{x_i-\mu}{\sigma}\right)-\sum_{i=1}^N\Left(\frac{x_i-\u
\text{，}\标记{4}\\
\frac{\part l}{\part\mu}(\nu，\u，\sigma)&=(1-2\nu)\sum_{i=1}^N\frac{1}{x_i-\u}+\frac{2\nu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^N x_i-\mu=0
\text{，and}\标记{5}\\
FRAC{\PARTIAL l}{\PARTIAL\SIGMA}(\nu，\MU，\SIGMA)&=-2\nN\FRAC{1}{\Sigma}+2\nu\Sigma^{-3}\sum_{i=1}^N\Left(x_i-\Mu\Right)^2=0
\text{，}\标记{6}
\end{对齐}
哪里 \(\psi^{{(0)}}\) 是阶次多元伽马函数 \(0\) ；即 \(\psi^{{(0)}}(\nu) = \frac{{d}}{{d\nu}} \log \Gamma(\nu)\) 。
但是，支持该分布的值是 \(x\) 为此， \(\frac{{x-\mu}}{{\sigma}} \geq 0\) ，这提供了一个额外的约束，
\BEGIN{公式}
\Mu\leq\min_i{x_i}。\标记{7}
\end{公式}
为 \(\nu = \frac{{1}}{{2}}\) ，对数似然关于…的偏导数 \(\mu\) 减少到：
\BEGIN{公式}
FRAC{\PARTIAL l}{\PARTIAL\MU}(\nu，\MU，\sigma)={\sigma^2}\sum_{i=1}^N(x_i-\Mu)，
\end{公式}
其在满足支承约束时为正。因为关于的偏导数 \(\mu\) 是积极的，不断增加的 \(\mu\) 增加对数似然，因此约束在 \(\mu\)
\BEGIN{公式}
\mu=\min_i{x_i}，\quad\nu=\frac{1}{2}。\标记{8}
\end{公式}
为 \(\nu\) 足够大于 \(\frac{{1}}{{2}}\) ，似然方程 \(\frac{{\partial l}}{{\partial \mu}}(\nu, \mu, \sigma)=0\) 有一个解决方案，并且这个解决方案提供了如下的最大似然估计 \(\mu\) 。然而，在任何一种情况下，条件 \(\mu = \min_i{{x_i}}\) 为数值优化提供了合理的初始猜测。
此外，还给出了最小二乘似然方程 \(\sigma\) 可以显式求解，并且它提供了最大似然估计
\BEGIN{公式}
\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N\Left(x_i-\mu\right)^2}{N}}。\标记{9}
\end{公式}
因此， _fitstart 一种新的生产方法 nakagami 用途
\BEGIN{ALIGN}
\MU_0&=\min_i{x_i}\，
\text{and}\\
\Sigma_0&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N\Left(x_i-\mu0\right)^2}{N}}
\end{对齐}
作为相应的数值优化的初始猜测。