学院化范围分布¶
该分布具有两个形状参数， \(k>1\) 和 \(\nu>0\) ，并且支持是 \(x \geq 0\) 。
\begin{eqnarray*}
f(x; k, \nu) = \frac{k(k-1)\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}}
\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} s^{\nu} e^{-\nu s^2/2} \phi(z) \phi(sx + z)
[\Phi(sx + z) - \Phi(z)]^{k-2} \,dz \,ds
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
F(q; k, \nu) = \frac{k\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}}
\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} s^{\nu-1} e^{-\nu s^2/2} \phi(z)
[\Phi(sq + z) - \Phi(z)]^{k-1} \,dz \,ds
\end{eqnarray*}
注： \(\phi(z)\) 和 \(\Phi(z)\) 分别表示普通PDF和普通CDF。
什么时候 \(\nu\) 超过100,000，则 \(F(x; k, \nu=\infty)\) 使用的是：
\BEGIN{eqnarray*}
F(x；k，\nu=\infty)=k\int_{-\infty}^{\infty}\phi(Z) [\Phi(x + z) - \Phi(z)] ^{k-1}\，dz
\end{eqnarray*}