7.1. 距离空间（度量空间）#

距离在描述空间位置之间的关系时是一个十分重要的概念。实际上GIS中距离的种类有多种，与之对应的抽象数学理论是本节的主要内容。

距离的定义#

定义7.1

设X为任一非空集合，d:X×X→R \(\mathbb{R}\) 为一函数，使得对于X的任何点x，y，z满足下列性质：

则 \((X， d)\) 称为以 \(d\) 为距离的距离空间。若 \(x，y∈X\) ，则实数 \(d(x，y)\) 称为从点 x 到点 y 的距离。上面的性质中，M₃称为对称性，M₄称为三角不等式。

例：对于可数无限维实数空间 \(\mathbb{R}^n\) ，定义距离函数 \(d\) 对空间中的任意两点 \(p(x_1, x_2, \cdots , x_n)\) 和 \(q(y_1, y_2, \cdots , y_n)\) ，

\[d(p,q) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }\]

这里 \(\sum_{i=1}^n x_i\) 和 \(\sum_{i=1}^n y_i\) 均收敛。

可以证明 \(d(p,q)\) 一定收敛， \(\mathbb{R}^n\) 满足距离空间定义。 \(\mathbb{R}^n\) 称为希尔伯特(Hilbert)空间。

现在我们考察几种GIS中常用的距离及其与距离空间的关系。

考察上述距离定义，M₁和M₂显然为这三种距离所定义。最短线距离和曼哈顿距离亦满足距离空间的对称性。但旅行时间则不一定。若考虑路面状况、地理特性（坡度等）、交通规则（单行线）等，则对称性不能满足。

三角不等式性质亦为最短线距离所满足。对于旅行时间，三角不等式亦不一定满足。图 7.1 所示，城市a和b及b和c间有高速公路，而a与c之间只有低等级公路，则就旅行时间而言， \(T(a,b)+T(b,c)\geq T(a,c)\) 不一定成立。

由上面的讨论，我们知道球面上的城市集合与最短线距离，以及曼哈顿距离均构成距离空间，而与旅行时间则不能构成距离空间。这说明传统的距离空间（亦称度量空间）不能完全适应GIS的需要。

特别需要说明的是，旅行时间这类的距离在GIS应用中有很重要的意义。例如，图 7.2 所示是地震后的救灾问题。救灾中心M需要在最短时间内赶往灾区A、B、C、D、E，此时通常意义下的距离已不重要，对称性、三角不等式难以满足，时间是最重要的。