4.2. 坐标系

纬度（Latitude） #

设椭球面上有一点P（图4-4），通过P点作椭球面的垂线，称之为过P点的法线。 法线与赤道面的交角，叫做P点的地理纬度（简称纬度），通常以字母 φ 表示。 纬度从赤道起算，在赤道上纬度为0度，纬线离赤道愈远，纬度愈大，至极点纬度为90度。 赤道以北叫北纬、以南叫南纬。

经度（Longitude） #

过P点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角，叫做P点的地理经度（简称经度）， 通常用字母λ表示。 国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初子午线（或叫首子午线），作为计算经度的起点， 该线的经度为0度，向东0-180度叫东经，向西0-180度叫西经。

地面上点位的确定 #

地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。 经线和纬线是地球表面上两组正交（相交为90度）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。 地表面某两点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。 例如北京在地球上的位置可由北纬39°56'和东经116°24'来确定。

平面直角坐标系的建立 #

在平面上选一点 O 为直角坐标原点， 过该点 O 作相互垂直的两轴 X’OX 和 Y’OY 而建立平面直角坐标系， 如图5所示。

直角坐标系中，规定 OX、OY 方向为正值， OX、OY 方向为负值， 因此在坐标系中的一个已知点 P ， 它的位置便可由该点对 OX 与 OY 轴的垂线长度唯一地确定，即 x=AP ， y=BP ，通常记为 P(x，y) 。

平面极坐标系（Polar Coordinate）的建立 #

如图5所示，设 O’ 为极坐标原点， O’O 为极轴， P 是坐标系中的一个点， 则 O’P 称为极距，用符号 ρ 表示，即 ρ=O’P 。 ∠OO’P 为极角，用符号 δ 表示，则 ∠OO’P=δ 。 极角 δ 由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。

极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。 由图5可知，直角坐标的x轴与极轴重合，二坐标系原点间距离 OO’ 用 Q 表示，则有：

X=Q–ρcosδ

Y=ρsinδ

坐标系平移 #

如图4-6所示，坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’ 相应的坐标轴彼此平行， 并且具有相同的正向。 坐标系 X’O’Y’ 是由坐标系 XOY 平行移动而得到的。 设 P 点在坐标系 XOY 中的坐标为 (x，y) ， 在 X’O’Y’ 中坐标为 (x’，y’) ，而 (a， b) 是 O’ 在坐标系 XOY 中的坐标，于是：

x=x’+a

y=y’+b

上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。

坐标系旋转 #

如图4-7所示，如坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’ 的原点重合， 且对应的两坐标轴夹角为 θ ， 坐标系 X’O’Y’ 是由坐标系 XOY 以O为中心逆时针旋转 θ 角后得到的。

x=x’cosθ+y’sinθ

y=y’cosθ-x’sinθ

上式即为经过旋转θ角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。

坐标系平移和旋转 #

如图4-8所示，坐标系 X’O’Y’ 的原点在坐标系 XOY 中的坐标为a、b， X 轴与 X’ 轴之夹角为θ。 可以认为坐标系 X’O’Y’ 原是与坐标系XOY重合，后因为O’分别平移了a、b之距离， 并且坐标系二坐标轴 O’X’ 与 O’Y’ 又相对 OX 与 OY 逆时针旋转了 θ 角而得到的。

在二坐标系之间引入一个辅助坐标系 X”O’Y” ， 使它的二坐标轴 O’X” 与 O’Y” 分别与 OX 、 OY 平行。

在 X”O’Y” 系中有一点P，其坐标为 (x”，y”) ， 则由坐标系平移公式与坐标系旋转公式可得：

x=x”+a

y=y”+b

故有

x”=x’cosθ+y’sinθ

y”=y’cosθ-x’sinθ

即

x=x’cosθ+y’sinθ+a

y”=y’cosθ-x’sinθ+b

上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。