二项分布¶
一个带参数的二项式随机变量 \(\left(n,p\right)\) 可以用以下几个词的总和来描述 \(n\) 参数的独立伯努利随机变量 \(p;\)
\[Y=\sum_{i=1}^{n}X_{i}.\]
因此，此随机变量统计在 \(n\) 随机试验的独立试验，其中成功概率为 \(p.\)
\BEGIN{eqnarray *}} p\left(k;n,p\right) & = & \left(\begin{{array}}{{c}} n\\ k\end{{array}}\right)p^{{k}}\left(1-p\right)^{{n-k}}\,\, k\in\left\{{ 0,1,\ldots n\right\}} ,\\ F\left(x;n,p\right) & = & \sum_{{k\leq x}}\left(\begin{{array}}{{c}} n\\ k\end{{array}}\right)p^{{k}}\left(1-p\right)^{{n-k}}=I_{{1-p}}\left(n-\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor x\right\rfloor +1\right)\quad x\geq0\end{{eqnarray* }
其中不完全β积分是
\[i_{x}\Left(a，b\right)=\frac{\Gamma\left(a+b\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(b\right)}\int_{0}^{x}t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1}dt.\]
现在
\BEGIN{eqnarray *}} \mu & = & np\\ \mu_{{2}} & = & np\left(1-p\right)\\ \gamma_{{1}} & = & \frac{{1-2p}}{{\sqrt{{np\left(1-p\right)}}}}\\ \gamma_{{2}} & = & \frac{{1-6p\left(1-p\right)}}{{np\left(1-p\right)}}.\end{{eqnarray* }
\[m\Left(t\Right)=\Left [1-p\left(1-e^{{t}}\right)\right] ^{n}\]