冯·米塞斯分布¶
有一个形状参数 \(\kappa>0\) ，在支持下 \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\) 。对于 \(\kappa<100\) 使用下面的PDF和CDF公式。否则，具有方差的正态近似 \(1/\kappa\) 是使用的。 [Note that the PDF and CDF functions below are periodic with period \(2\pi\). If an input outside \(x\in\left[-\pi,\pi\right] 如果给定\)，则将其转换为此范围内的等效角度。]
\BEGIN{eqnarray*}f\Left(x；\kappa\right)&=&\frac{e^{\kappa\cos x}}{2\pi i_{0}\Left(\kappa\right)}\\
F\Left(x；\kappa\Right)&=&\frac{1}{2}+\frac{x}{2\pi}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{I_{k}\left(\kappa\right)\sin\left(kx\right)}{I_{0}\left(\kappa\right)\pi k}\\
G\Left(q；\kappa\right)&=&F^{-1}\Left(x；\kappa\right)\end{eqnarray*}
哪里 \(I_{{k}}(\kappa)\) 是第一类修正的贝塞尔函数。
\BEGIN{eqnarray*}\mu&=&0\\
\MU_{2}&=&\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}f\left(x；\kappa\right)dx\\
\Gamma_{1}&=&0\\
\Gamma_{2}&=&\frac{\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}f\left(x；\kappa\right)dx}{\mu_{2}^{2}}-3\end{eqnarray*}
这可用于定义循环差异。