对数正态(柯布-道格拉斯)分布¶
有一个形状参数 \(\sigma\) >0。(请注意，“倒退” \(A=\log S\) 哪里 \(S\) 是Scale参数，并且 \(A\) 是基础正态分布的平均值)。支持是 \(x\geq0\) 。
\BEGIN{等式*}f\Left(x；\sigma\Right)&=&\frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x}{\sigma}\Right)^{2}\Right)\\
F\Left(x；\sigma\Right)&=&\Phi\Left(\frac{\log x}{\sigma}\Right)\\
g\Left(q；\sigma\right)&=&\exp\Left(\sigma\phi^{-1}\Left(q\Right)\Right)\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \mu & = & \exp\left(\sigma^{2}/2\right)\\
\mu_{2} & = & \exp\left(\sigma^{2}\right)\left[\exp\left(\sigma^{2}\right)-1\right]\\
\gamma_{1} & = & \sqrt{p-1}\left(2+p\right)\\
\gamma_{2} & = & p^{4}+2p^{3}+3p^{2}-6\quad\quad p=e^{\sigma^{2}}\end{eqnarray*}
请注意，使用jkb表示法，我们有 \(\theta=L,\) \(\zeta=\log S\) 并给出了该分布的所谓反对数正态分布形式。这与一般概率分布的位置、尺度参数描述更加一致。
\[H\Left [X\right] =\frac{1}{2}\Left [1+\log\left(2\pi\right)+2\log\left(\sigma\right)\right] 。\]
另外，请注意，如果 \(X\) 是对数正态分布的随机变量 \(L=0\) 和 \(S\) 和形状参数 \(\sigma.\) 然后, \(\log X\) 是具有方差的正态分布 \(\sigma^{{2}}\) 和卑鄙 \(\log S.\)