反正弦分布¶
定义对象 \(x\in\left[0,1\right]\) 。要获得约翰逊、科茨和巴拉克里希南的定义，替身 \(x=\frac{{u+1}}{{2}}.\) 即 \(L=-1\) 和 \(S=2.\)
\BEGIN{eqnarray *}} f\left(x\right) & = & \frac{{1}}{{\pi\sqrt{{x\left(1-x\right)}}}}\\ F\left(x\right) & = & \frac{{2}}{{\pi}}\arcsin\left(\sqrt{{x}}\right)\\ G\left(q\right) & = & \sin^{{2}}\left(\frac{{\pi}}{{2}}q\right)\end{{eqnarray* }
\[m\Left(t\right)=1+\sum_{k=1}^\infty\Left(\prod_{r=0}^{k-1}\frac{2r+1}{2r+2}\right)\frac{t^k}{k！}\]
\BEGIN{eqnarray*}\mu{n}^{\Prime}&=&\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}x^{n-1/2}\Left(1-x\Right)^{-1/2}dx\\
&=&\FRAC{1}{\pi}B\Left(\FRAC{1}{2}，n+\frac{1}{2}\right)=\frac{\left(2n-1\right)！！}{2^{n}n！}\end{eqnarray*}
\BEGIN{eqnarray *}} \mu & = & \frac{{1}}{{2}}\\ \mu_{{2}} & = & \frac{{1}}{{8}}\\ \gamma_{{1}} & = & 0\\ \gamma_{{2}} & = & -\frac{{3}}{{2}}\end{{eqnarray* }
\[H\Left [X\right] =\log(\frac{\pi}{4})\约-0.24156447527049044468\]
\[l_{\mathbf{x}}\left(\cdot\right)=N\log\pi+\frac{N}{2}\overline{\log\mathbf{x}}+\frac{N}{2}\overline{\log\left(1-\mathbf{x}\right)}\]
参考文献¶
诺曼·约翰逊、塞缪尔·科茨和N·巴拉克里希南，“连续单变量分布”，第二版，第一卷和第二卷，威利父子出版社，1994年。
“反正弦分布”，维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Arcsine_distribution