摘要: 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义,用a表示椭圆长半轴的长,b表示椭圆短半轴的长,且a>b>0。 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(...
一、椭圆周长、面积计算公式
根据椭圆第一定义,用a表示椭圆长半轴的长,b表示椭圆短半轴的长,且a>b>0。 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
椭圆面积公式: S=πab
椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程
(一)发现椭圆常数
常数在于探索和发现。
椭圆三要素:焦距的一半(c),长半轴的长(a)和短半轴的长(b)。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。
椭圆的周长取值范围:4a<L<2πa (1) 椭圆周长猜想:L=(2πa-4a)T (2) T是猜想的椭圆周率。将(1)等式与(2)等式合并,得: 4a<(2πa-4a)T<2πa (3) 根据不等式基本性质,将不等式(3)同除(2πa-4a),有: 4a/(2πa-4a) <T<2πa /(2πa-4a) (4) 简化表达式(4): 2/(π-2)<T<π/(π-2) 定义:K1=2/(π-2);K2=π/(π-2) 计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数:
K1=1.75193839388411……
K2=2.75193839388411……
椭圆第二常数:K2=K1+1
椭圆常数的发现过程描述简单,得来却要复杂得多。
(二)椭圆周长公式推导
长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆,却忽视了椭圆a与b的关系。定义:椭圆向心率为f,f=b/a 。根据椭圆第一定义,椭圆向心率f,有0<f<1的范围。
K1+f<K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。 定义:T=K1+f,将此等式代入等式(2)则有: L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f) =2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b)
椭圆周长计算公式: L=2πb+4(a-b)
(三)椭圆面积公式推导
椭圆面积的取值范围:0<S<πa2 (5) (由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂。如:上式中πa2为π乘a的二次方。) 椭圆面积猜想:S=πa2T (6) T是猜想的椭圆面积率。将(5)等式与(6)等式合并,得: 0<πa2T<πa2 (7) 根据不等式基本性质,将不等式(7)同除πa2,则有:0<T<1。可得: S=πa2T=πa2(K+f) (8) 在等式(8)中K=0,f=b/a,代入等式中: S=πa2b/a=πab
椭圆面积计算公式:S=πab