摘要: 理论公式 简介 a为椭圆长半轴,e 为椭圆的离心率 椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示,它是一个与离心率有关的无穷收敛级数,本公式已经把正圆周长纳入其中,在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆,也就是说正圆是长短轴相等的...
理论公式
简介
a为椭圆长半轴,e 为椭圆的离心率
椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示,它是一个与离心率有关的无穷收敛级数,本公式已经把正圆周长纳入其中,在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆,也就是说正圆是长短轴相等的椭
公式推导是要利用到曲线长度积分,同时关键的一步是,要把椭圆积分利用牛顿二项式定理展开为以sinθ 为变量的级数再通过积分求解。如图。
推导过程
先建立椭圆参数方程:
x=a SINθ
Y=bcosθ
根据曲线长度积分方程:
u=y′
将椭圆方程代入上式得:
(1) L=4a
而
得出将(1)式用牛顿二项式定理展开再逐项积分得:
求解完毕(这个公式把a=b带进去以后为圆周长公式,e=1时,L=a)