开普勒第三定律的推导过程

推导过程

万有引力定律是用开普勒第三定律导出的，因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律，循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据来计算出来的，没有见过推导，推导过程只能是与万有引力定律的联系，不能叫推导。

观察数据

下图是开普勒经过艰苦计算所发现第三定律时的原始数据表：

轨道周期与太阳到行星的平均距离

开普勒整理数据发现，右图下方的坐标中各点大致连成一条直线，因此他认为行星的运行周期\(T\)和\(R^(2/3)\)成正比（其中\(R\)为轨道半径），并计算出该直线的斜率为\(2π/√GM\)，即\(T=2πR^(2/3)/√GM\)

常规方法

方法一：

现实中的星体运动的轨道大多数是椭圆，于是便有以下推导：

利用微元，矢径R在很小的Δt时间内，扫过面积为ΔS，矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α，椭圆的弧长为ΔR。在Δt→0时，扫过面积可以看作为三角形，

\(ΔS=1/2RΔRsinα\)

面积速度为\(ΔS/Δt=(1/2RΔRsinα)/Δt=1/2Rvsinα\)

设各行星绕太阳运行周期为T，椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c

则行星绕太阳运动的周期\(T=πab/(1/2Rvsinα)\)

选近日点A和远日点B来研究，由ΔS相等可得\(1/2vARA=1/2vBRB\)

从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得：\(1/2mvA^2-GMm/RA=1/2mvB^2-GMm/RB\)

\(vA^2=2GMRB/(RA+RB)RA\)

由几何关系得：\(RA=a-c,RB=a+c,a^2=b^2+c^2\)

所以\(vA^2\)=

整理得\(T^2/a^2=4π^2/GM\)