伯努利不等式证明

伯努利不等式：

设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)n≥1+nx.

证明:

先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：

当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有:

(1+x)n-1≥1+(n-1)x成立, 则 (1+x)n =(1+x)n-1(1+x) ≥1+(n-1)x

=1+(n-1)x+x+(n-1)x2=1+nx+nx2-x2 ≥1+nx

就是对一切的自然数,当 x≥-1,有 (1+x)n≥1+nx

下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)r ≥ 1 + rx 若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)r ≤ 1 + rx

这个不等式可以直接通过微分进行证明，

方法如下： 如果r=0，1，则结论是显然的

如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)r-1-r, 则f'(x)=0 ↔ x=0;

下面分情况讨论：

1.0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) > 0

。严格递增，因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)r ≤ 1+rx。

2.r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。

严格递减，因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)r ≥ 1+rx

命题得证