三角函数基本概况

三角函数基本概况

2016-12-19 作者: xuzhiping 浏览: 2923 次

摘要: 三角函数 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也可以说以角度为自变量,角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数,三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何...

三角函数

三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也可以说以角度为自变量,角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数,三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数,叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数(也叫做圆函数)是角的函数;它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率,也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们扩展到任意正数和负数值,甚至是复数值。

定义

直角三角形中

当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个直角三角形,其中∠ACB为直角。对∠BAC而言,对边(opposite)a=BC、斜边(hypotenuse)c=AB、邻边(adjacent)b=AC,则存在以下关系:

基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述
正弦函数 sine sin a/c ∠A的对边比斜边
余弦函数 cosine cos b/c ∠A的邻边比斜边
正切函数 tangent tan a/b ∠A的对边比邻边
余切函数 cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边
正割函数 secant sec c/b ∠A的斜边比邻边
余割函数 cosecant csc c/a ∠A的斜边比对边

变化情况

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) ;

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);

正割值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),余割值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

特殊角

在三角函数中,有一些特殊角,例如30°、45°、60°,这些角的三角函数值为简单单项式,计算中可以直接求出具体的值。

这些函数的值参见下表格:

角度 15° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
弧度 0 π/12 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2
sin值 0 (√6-√2)/4 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1
cos值 1 (√6+√2)/4 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0
tan值 0 2-√3 √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 0
cot值 2+√3 √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 0

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