连分数的动机

连分数的动机


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2016-12-28 编辑:xuzhiping 浏览次数: 2759

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摘要: 研讨连分数的动机源于想要有实数在“数学上朴实”的表明。 这里的a0 可所以恣意整数,其它ai 都是 {0, 1, 2, ..., 9} 的一个元素。在这种表明中,例如数 π 被表明为整数序列 {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}。 这种小数表明...

研讨连分数的动机源于想要有实数在“数学上朴实”的表明。

这里的a0 可所以恣意整数,其它ai 都是 {0, 1, 2, ..., 9} 的一个元素。在这种表明中,例如数 π 被表明为整数序列 {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}。

这种小数表明有些疑问。例如,在这种情况下运用常数 10 是因为咱们运用了 10进制体系。咱们还可以运用 8进制或 2 进制体系。另一个疑问是许多有理数在这个体系内缺少有限表明。例如,数 1/3 被表明为无限序列 {0, 3, 3, 3, 3, ....}。

连分数表明法是避免了实数表明的这两个疑问。让咱们考虑怎么描绘一个数如 415/93,约为 4.4624。近似为 4,而实践上比 4 多一点,约为 4 + 1/2。可是在分母中的 2 是不准确的;更准确的分母是比 2 多一点,约为 2 + 1/6,所以 415/93 近似为 4 + 1/(2 + 1/6)。可是在分母中的 6 是不准确的;更准确分母是比 6 多一点,实践是 6+1/7。所以 415/93 实践上是 4+1/(2+1/(6+1/7))。这么才准确。

去掉表达式 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) 中的冗余有些可得到简略记号 [4; 2, 6, 7]。

实数的连分数表明可以用这种方法界说。它有一些可取的性质:

一个数的连分数表明是有限的,当且仅当这个数是有理数。 “简单”有理数的连分数表明是简略的。 任何有理数的连分数表明是仅有的,如果它没有跟随的 1。(可是 [a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1]。) 无理数的连分数表明是仅有的。 连分数的项将会重复,当且仅当它是一个二次无理数(即整数系数的二次方程的实数解)的连分数表明 [1]。 数 x 的切断连分数表明很早发生 x 的在特定意义上“最好也许”的有理数迫临(参看下述定理 5 推论 1)。 最后一个性质非常重要,且传统的小数点表明就不能如此。数的切断小数表明发生这个数的有理数迫临,但一般不是非常好的迫临。例如,切断 1/7 = 0.142857... 在各种方位上发生迫临比,如 142/1000、14/100 和 1/10。可是显着的最好有理数迫临是“1/7”自身。π 的切断小数表明发生迫临比,如 31415/10000 和 314/100。π 的连分数表明开始于 [3; 7, 15, 1, 292, ...]。切断这个表明发生极佳的有理数迫临 3、22/7、333/106、355/113、103993/33102、...。 314/100 和 333/106 的分母适当挨近,但近似值 314/100 的差错是远高于 333/106 的 19 倍。作为对π的迫临,[3; 7, 15, 1] 比 3.1416 准确 100 倍。

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