无理数与有理数判断

无理数与有理数判断


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2017-01-12 编辑:xuzhiping 浏览次数: 3834

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摘要: 无理数与有理数 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数,是10进制下的无限不循环小数,如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。而有理数由所有分数,整数组成,总能写成整数、有限小数或无限循环小数,并且总能写成两整数之比,如22/7等。例如:π 无理数与有理...

无理数与有理数

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数,是10进制下的无限不循环小数,如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。而有理数由所有分数,整数组成,总能写成整数、有限小数或无限循环小数,并且总能写成两整数之比,如22/7等。例如:π

无理数与有理数的区别

1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成整数、小数或无限循环小数,比如4=4.0;4/5=0.8;1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数

证明:假设√2不是无理数,而是有理数。既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:√2=p/q,又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。把 √2=p/q 两边平方得,2=(p2)/(q2) ,即 2(q2)=p2。由于2q2是偶数,p 必定为偶数

设p=2m, 由 2(q2)=4(m2)得,q2=2m2

同理q必然也为偶数,设q=2n, 既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾。

这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

判断a√b是否无理数(a,b是整数)

若a√b是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:a√b=c/d(c/d是最简分数), 两边a次方得,b=ca/da

即ca=b*(da) ca,一定是b的整数倍

设ca=bn*p

同理b*(da)

必然也为b的整数倍

设b(da)=b(bm*q)。

其中p和q都不是b的整数倍,左边b的因子数是a的倍数,要想等式成立,右边b的因子数必是a的倍数,推出当且仅当b是完全a次方数,a√b才是有理数,否则为无理数。

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