矩阵特征值

矩阵特征值

定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式

\(AX=λX\) (1)

成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，

\(( A-λE)X=0\) (2)

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

\(| A-λE|=0\) , (3)

求矩阵特征值的方法

\(Ax=mx\)，等价于求m，使得\((mE-A)x=0\)，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

\(|mE-A|=0\)，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则\(|A|=m1 \times m2 \times ... \times mn)\

同时矩阵A的迹是特征值之和：\(tr（A）=m1+m2+m3+…+mn\)

如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程\(g(A)=0\), 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程\(g(m)=0\)求得。