等差数列求和公式推导

等差数列求和公式推导

2017-01-12 作者: xuzhiping 浏览: 4004 次

摘要: 等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和...

等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和公式为:\(Sn=n \times a1+n(n-1)d/2\)或\(Sn=n(a1+an)/2\)。注意: 以上n均属于正整数。

公式结论:

首项:\(a1= \frac {2Sn}{n} -an\)

末项:\(an= \frac {2Sn}{n} -a1\)

通项公式:\(an=a1+(n-1)d\)

项数:\(n= \frac {an-a1}{d} +1\)

公差:\(d= \frac {an-a1}{n-1}\)

如:数列1,3,5,7,……,97,99 公差就是\(d=3-1=2\) 将a1推广到an,则为:\(d=a2-a1\)

a1,a2,a3....an,n=奇数,\(Sn=(a((n-1)/2))\times ((n-1)/2)\)

等差数列求和公式:

1.\(Sn= \frac {(a1+an)n}{2} \) ,n∈N^*;

2.\(Sn=na1+ \frac {n(n-1)}{2} d \) ,n∈N^*;

3.\(Sn= \frac {[2a1+(n-1)d]n}{2}\) ,n∈N^*;

4.\(Sn=An^2+Bn\) ,n∈N^*,其中\(A= \frac {d}{2} \),\(B=a1- \frac {d}{2} \)

当d≠0时,Sn是n的二次函数,(n,Sn)是二次函数\(y= \frac {d}{2} x^2+(a1- \frac {d}{2} )x\)的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意:公式一二三事实上是等价的,在公式一中不必要求公差等于一。

求和推导

证明:由题意得:

\(Sn=a1+a2+a3+…+an\)①

\(Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+…+a1\)②

①+②得:

\(2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]\)(当n为偶数时)

\(Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2\)

\(Sn=n(A1+An)/2\) (a1,an,可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值,即A1+An)

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