对数的公式推导

对数的公式推导

2017-01-12 作者: xuzhiping 浏览: 4467 次

摘要: 对数 如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数X叫做以a为底N的对数(logarithm),记作\(x=logaN\)。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数,x叫做“以a为底N的对数”。 定义 1.特别地,我们称以10为底的对数叫做常用对数(comm...

对数

如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数X叫做以a为底N的对数(logarithm),记作\(x=logaN\)。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数,x叫做“以a为底N的对数”。

定义

1.特别地,我们称以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为lg。

2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并记为ln。

3.零没有对数。

4.在实数范围内,负数无对数。在复数范围内,负数是有对数的。

事实上,当\(θ=(2k+1)π\)时(k∈Z),\(e^{(2k+1)πi}+1=0\),所以ln(-1)的具有周期性的多个值,\(ln(-1)=(2k+1)πi\)。这样,任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如:\(ln(-5)=(2k+1)πi+ln 5\)。

基本性质

基本公式

1.\(a^{logaN}=N\)

2.\(log_aa=1\)

3.\(logaMN=logaM+logaN\)

4.\(loga \frac {M}{N} =logaM-logaN\)

5.\(logaM^n=nlogaM\)

6.\(log_a b= \frac {logc^b}{logc^a} \)

证明过程

1.\(a^t=N\)

\(logaN=t\)

\(a^t=logaN=N\)

2.\(a^1=a\)

\(log_aa=1\)

3.\(M=a^p\),\(N=a^q\)

\(logaMN=log_aa^{p+q}\)

4.\(loga \frac {M}{N} =log_aa^{p-q} =logaM-logaN\)

5.\(logaM^n=loga(a^p)^n=nlogaN\)

6.\(a=c^{logc^a},M=c^{logcM}\)

\(c^{plog_ca}=c^{logcM}\)

\(plog_ca=c^{logcM}\)

\(logaM=p= \frac {logcM}{logca} \)

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