自然界的数学推论

自然界的数学推论

2017-01-12 作者: xuzhiping 浏览: 3430 次

摘要: 汤普森是苏格兰生物学家、数学家及古典文学学者,向来以兴趣广泛和稍嫌古怪的习惯闻名。现今大家对他印象最深刻的,可能是他的开拓性大作:1917年出版的《论生长与形态》。他在书中说明了数学公式和用数学的方法可以描绘许多生物体和花朵的形状,举例来说,淡菜可以被具体描述...

汤普森是苏格兰生物学家、数学家及古典文学学者,向来以兴趣广泛和稍嫌古怪的习惯闻名。现今大家对他印象最深刻的,可能是他的开拓性大作:1917年出版的《论生长与形态》。他在书中说明了数学公式和用数学的方法可以描绘许多生物体和花朵的形状,举例来说,淡菜可以被具体描述为对数螺线,蜂巢的形状则是可以铺满一块区域(不留缝隙)且其周长最小的多边形。

但汤普森最让人惊讶的发现是:看起来截然不同的动物的形状,往往在数学上是相同的。利用正确的坐标变换,亦即拖、拉、转, 就可以使鲤鱼变成翻车鱼,其他动物也是如此。许多四足动物与鸟类之间的外观差异,也只是外形的线条长度与角度不同而已。

汤普森对这种现象的解释是,不同的外力会拉扯、挤压动物的身体,直到它变成适合环境的流线形或其他形状。他写道:“万物如此,皆因其本。”

变化后的外形代代相传。由于这个理论可以解读为对环境的适应能力,汤普森的发现刚好吻合当时已十分流行的达尔文的观点(离题一下,强化或扭曲面部及身体特征的技巧,包括耳朵突出、椭圆脸蛋、大鼻子,一直是几世纪来漫画家的谋生工具,为读者带来无数欢乐)。

这位知识丰富的苏格兰佬不是第一个用数学来说明自然现象的人,13世纪初,来自意大利比萨的波那契——后来被称作斐波那契 (Fibonacci,意即波那契之子)——早已研究过兔子的繁殖问题,也就是由一对兔子宝宝开始,之后任意一个时间点兔子的总数是多少。第一个月结束时,这 对兔子已进入青春期,可以交配,数量则仍是两只;然后第二个月月底,母兔生了一对小兔子,所以共有一对成兔及一对幼兔;第三个月月底,成兔再度交配后,又生了一对兔宝宝,此时已经有了三对兔子。其中一对才刚出生,但另外两对已经到了可交配的年龄,因为它们是兔子,所以再次交配;一个月后,第二代的兔子及它们的父母又各自生了一兔宝宝,现在总共有5对兔子。

斐波那契问题的答案,就是我们称为斐波那契数列的一串数字。数列的前几项为:1,2,3,5,8,13,21,34...这个程序无限延续,每个数字都是之前两个数字的和(例如\(13+21=34\))。当然,这并不能证明将来兔子会占领全世界,只代表斐波那契忘了考虑兔子过了一段时间会死掉这个因素 (这个案例表明,即使是毫无瑕疵的归纳,数学家有时还是会滥用他们的科学,以不正确的前提作开端,得出错误的结论)。

斐波那契数列后来以多种面貌出现,例如向日葵花盘里的籽粒是以左旋或右旋的螺旋状排列的,螺旋中的籽粒数目通常对应于斐波那契数列中的两个相邻数,如21和34。松果和菠萝上的螺旋数或仙人掌的尖刺数,也对应于斐波那契数列中的两个相邻数,没有人知道为什么会这样,但有人怀疑这种现象与植物的生长效能有关。

过去一直致力于研究竹子的比利时植物学家吉利斯,决定加入一长串科学家的行列,他们的雄心是要把自然现象缩减为一个简单的原则。他在《美国植物学期刊》中发表的论文,因为强大宣传机器的催化,以及文中所用的动听字眼“超级公式”,很快就激起了大众的兴趣。吉利斯在文中宣称,许多在生物体上发现的形状,都可以被简化为单一的几何形式。

他先从圆的数学表达式着手,调整一些参数后,就可以变成椭圆的数学表达式;然后再加入一些变化,又可以产生其他形状,如三角形、正方形、星形、凸形及凹形,还有另外许多形状。吉利斯不像汤普森许多年前那样,拖、拉或扭、捏图形,而是操控超级公式中的6个变量,借以模拟出不同动植物的图形。因为圆形在变形之后,可以呈现出各式各样的形状,因此吉利斯主张这些形状是相等的。

超级公式绝对不是较高等的数学,也无法产生革命性的理解或发现。虽然在媒体上轰动一时、佳评如潮,但超级公式仍比较像是业余娱乐性的数学,严谨的科学家根本不把它当一回事。斐波那契至少还以兔子繁殖,解释了斐波那契数列;汤普森则研究生物体所承受的作用力,以解释他的变形论。反之,吉利斯的超级公式却什么也没解释,只是给出许多生物外形上的大略描述。虽然有这个缺点,吉利斯仍为其数学公式的算法取得专利,甚至成立了一家公司来开发、营销这项发明。

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