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蚂蚁如何确定自己是坐在皮球上还是甜甜圈上？ 古希腊人怎么知道地球不是平的？解决类似问题的困难在于， 对附近的观察者来说，皮球、中间有洞的球体及平底盘，看起来都是一样的。
19世纪，拓扑学作为几何学的一个分支开始形成并发展， 但仅仅过了不多时间，就成为数学领域中的一门独立学科。 拓扑学研究的是二维、三维及更高维度空间中的几何物体（表面与球体）的定性问题， 通过拉长与挤压，这些物体（想象它们是用泥巴或黏土做成的）可以被转化为另一种物体， 但不能把它们撕破、穿洞或把不同块状粘贴在一起。 例如，球体或立方体可以转化为蛋形或金字塔形，因此它们是拓扑等价的； 反之，皮球如果不穿洞，就不能变成甜甜圈。 还有，从拓扑学观点来说，椒盐脆饼与甜甜圈也不等价，因为椒盐脆饼有3个洞。
物体上洞的数量是拓朴学的一个重要的性质， 但要如何以数学方式来定义“洞”？被边界包围起来的一无所有？ 不是，这种定义可不行。理论上，我们可以这么做： 在目标物表面套上一条橡皮筋，如果它是球、蛋或其他没有洞的物体， 无论橡皮筋如何缠绕，都可以把橡皮圈连续地收缩为单个点； 但如果是类似甜甜圈或椒盐脆饼之类的物体，在表面缠上橡皮筋后， 不一定能收缩成一点。如果橡皮筋穿过其中任何一个洞， 橡皮圈在缠紧时就会卡住，这就是为什么在拓扑学中，物体是依洞数分类的。
三维物体如球或甜甜圈的表面，称为二维流形；那么， 三维流形（也就是四维物体的表面）又是如何？为了探究这些物体， 法国数学家庞加莱以二维流形的相同方式进行推论。 他提出粗糙的主张：在其表面的任何回路皆可缩成一点的三维流形， 拓扑等价于球体。当他尝试为这个断言提出证明时， 却陷入水深火热之中，他的尝试失败了。因此，1904年这个“断言”被改为“猜想”。
20世纪后半叶，数学家接二连三地证明了庞加莱猜想对四维、五维、 六维以及更高维流形是成立的，但最原始的三维流形猜想仍旧无人能解。 这让人很沮丧，因为所研究的三维流形，代表的正是我们生活其中的时空连续体。
2003年春天，圣彼得堡斯特克罗夫研究所的俄罗斯数学家佩雷尔曼宣布， 他可B自已经成功证明了庞加莱猜想。 1995年，他的著名同行怀尔斯“破解”了“费马最后定理”； 佩雷尔曼和他一样，在完全与世隔绝和独处的状态下做了8年研究。 他的成果完全呈现在3篇刊登于网页上的论文中，一篇发表于2002年11月、 一篇是2003年3月，最后一篇则在2003年7月。
前苏联的科学家生活困苦，佩雷尔曼也不例外。 他在其中一篇论文的脚注里提到，他仅靠着在美国研究机构担任研究员的微薄薪资才能勉强糊口。 2003年4月，佩雷尔曼在美国举行了一系列演讲， 目的是与同行分享他的研究成果，并获得他们的回馈意见。
佩雷尔曼的证明用到了两位数学家先前发展出来的两个工具。 第一个工具是所谓几何化猜想，由当时在加州大学（现任教于康乃尔大学）的瑟斯顿提出。 三维流形可以被分解为一些基本元素这一事实数学家们众所周知。 而瑟斯顿的猜想指出，这些基本元素只有8种不同形状。 不过要证明这个猜想，需要有比证明庞加莱猜想更大的雄心， 后者的目标只是确认流形与球体等价。但瑟斯顿后来设法证明了他的猜想， 只是加上一些额外的假设。1983年， 他因这项成就而获颁数学界最高荣誉——菲尔兹奖(Fields Medal)。 然而，这个猜想最一般化 的版本，亦即未附加瑟斯顿假设的版本，目前尚未证明出来。
佩雷尔曼仰赖的第二个工具是所谓里奇流， 哥伦比亚大学的哈密顿将这个概念引进拓扑领域。 从根本上说，里奇流是关于热量在物体内的传播方式的微分方程式。 在拓扑学中，里奇流描述的是不断变化的流形，其速率与流形在每一点上的曲率成反比， 使得变形的物体达到常曲率的状态。有时里奇流能让流形分裂为几个组分， 哈密顿证明（尽管仍受到一些条件限制），这些组分只能是瑟斯顿所预测的8种形状。
佩雷尔曼成功地将里奇流理论扩充为一般形式的瑟斯顿几何化猜想的完整证明。 以此为起点，接下来就可以推论出庞加莱猜想是正确的： 如果一个环绕着三维流形的回路可以被缩至一点，则流形就等价于球体。
佩雷尔曼在其一系列演讲中提出的证明，仍需要更深入的验证， 这可是好几年时间。其实向数学界提出证明后才发现其中有所缺漏的情况， 这并非首例。例如，2002年，佩雷尔曼的论文发表的前一年。 英国数学家邓伍迪才在网页上刊出他认为正确的庞加莱猜想证明。
到目前为止，还没有理由认为佩雷尔曼在论文中所描述的证明不正确， 也没有人发现漏洞或者找到错误。若是他的证明未来能通过所有检验， 这位俄罗斯数学家似乎将是首位克雷奖金得主。 克雷奖金颁发的对象是解出七大“千年难题”之一的数学家， 有了那100万美元奖金，佩雷尔曼再也不必依靠贫乏的客座讲师报酬过活 了。