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庞加莱（Henri Poincar6，1854～1912）是过去两个世纪来最者名的法国数学家。 与同时代的德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）—样， 庞加莱不仅深入了解数学的各个领域，而且在所有这些领域里的表现也十分活跃。 不过，在庞加莱与希尔伯特之后， 数学的范畴变得十分浩瀚，每个人都只能理解其中一小部分。
庞加莱有一个最广为人知的问题，也就是今天所谓的“庞加莱猜想”， 这个问题已经困扰并挑战了好几代数学家。2002年春天， 南安普敦大学的邓伍迪（Michael Dunwoody）相（虽然只维持了几星期）， 他已经成功地解决了庞加莱猜想的证明。
由于解开庞加莱猜想相当重要，因此克雷数学研究所将这个问题列为七个千年难题之一， 第一个解出其中任何一个问题的人可以获得100万美元奖金。 事实上，这个奖金委员会认为，至少要数十年后才有办法颁发出第一个奖项； 不过公布问题的两年后，似乎就出现了克雷基金会的第一位得奖者。 可是，邓伍迪的证明的正确性引起了广泛的质疑，并最后证实，质疑者的理由相当充分。
庞加莱猜想属于拓扑学领域。简言之，这个数学分支研究的是： 一个物体是否可以在拉长、压扁或旋转后，不必经由撕裂、黏合等动作， 就变形为另一个不同的物体。例如，皮球、鸡蛋、花盆在拓扑学里都可认为是等价的， 因为其中任何一个物体均可以不经过任何“非法”行动变形为其他任何一个东西； 但另一方面，皮球与咖啡杯则是不等价的，因为杯子有把手， 皮球如果不钻洞就无法变形成杯子。因此，皮球、鸡蛋、花盆被称为“单连通的”， 而杯子、面包圈或椒盐脆饼则正好相反。 由于庞加莱不想从几何角度来探讨这个问题，而是改由代数着手解决， 于是他成为了“代数拓扑学”的始祖。
1904年，庞加莱提出一个问题：是否所有没把手的东西都与球体等价？ 在二维空间里，这个问题可以参照鸡蛋、咖啡杯及花盆表面， 然后回答：是的（例如，足球的表面或面包圈的表面都是飘在三维空间中的二维物体）。 但对于四维空间中的三维表面，答案则还不清楚， 尽管庞加莱倾向相信是这个答案，但他无法证明这个观点。
相当有趣的是，其后几十年间， 数学家就已经证明出了四维以上空间中关于物体等价的庞加莱猜想。 这是因为较高维度的空间更为自由，所以数学家要证明庞加莱猜想比较简单。 例如，剑桥大学的塞曼（Christopher Zeeman）1961年加入竞赛， 证明出五维2间中物体的庞加莱猜想；同一年， 来自加州大学柏克莱分校的斯梅尔（StephenSmale）宣布， 他证明了七维及以上空间中物体的庞加莱猜想；一年后， 同样来自加州大学柏克莱分校的斯托林斯（John Stallings）证明出， 庞加莱猜想对于六维空间中的物体成立； 最后，1982年，加州大学圣迭戈分校的弗里德曼（Michael Freedman）证明出四维空间中物体的庞加莱猜想。 现在，只剩下四维空间中的三维物体尚待证明， 不过这反而更让人沮丧，因为四维空间即是我们所生活的“时空连续体”。
邓伍迪认为，自己已经找到了证明。2002年4月7日， 他在网站上发表了一篇标题为《庞加莱猜想的证明》的初稿， 一些有声望的数学家也称他为长期以来认真尝 试解出庞加莱猜想的第一人。 在较高维度的空间里，虽然有额外的自由空间，但遇到球体时却很难辨认出来。 要想理解其困难程度，就想象一下古代的海盗及冒险家， 他们虽然经历多次远征及探索旅程，但仍然不知道地球是圆的。 邓伍迪的研究是以澳洲数学家鲁宾斯坦（Hyam Rubinstein）早前的成果为基础， 鲁宾斯坦研究的是 四维空间中的球体表面（要记住：四维空间物体的表面是一个三维物体）。
邓伍迪只用了不到5页的纸来展开他的论证， 得到的结论是所有单连通、封闭、三维的表面都可以经过拉长、挤压、但不撕裂的方式， 转变为球体表面，而这个陈述等于证明了庞加莱猜想。
唉！在他的网站上贴出他的证明后才几星期， 邓伍迪就被迫在文章标题后面加上问号，他的一位同事发现他的证明有漏洞。 于是，标题变成了“庞加莱猜想的证明？”，虽然邓伍迪立刻设法弥补漏洞， 却没有成功，他的朋友和同事也都失败了。再过了几星期， 这篇文章就从网站上消失了，而庞加莱猜想则还是像从前一样扑朔迷离。